সীমা (limits)

প্রয়োজনীয় তথ্যাদি 

1. $\lim (\sin \theta / \theta)=\lim (\theta / \sin \theta)=1$

    $\theta \rightarrow 0 \quad \theta \rightarrow 0$

2. $\lim (\tan \theta / \theta)=\lim (\theta / \tan \theta)=1$ 

    $\theta \rightarrow 0 \quad \theta \rightarrow 0$

3. $\lim \left(x^{\mathrm{n}}-\mathrm{a}^{\mathrm{n}} / \mathrm{X}-\mathrm{a}\right)=\mathrm{na}^{\mathrm{n}-1}$

    $\mathrm{x} \longrightarrow \mathrm{a}$

4. $\lim \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1 / \mathrm{x}\right)=1$

    $\mathrm{x} \longrightarrow \mathrm{0}$

5. $\lim (1+x)^{1 / x}=\lim (1+1 / x)^{x}=e$

    $\mathrm{x} \rightarrow 0 \quad \mathrm{x} \rightarrow \alpha$

 

কিছু শর্টকার্ট 

1. $\lim \left(\tan ^{-1} \mathrm{x} / \mathrm{x}\right)=\lim \left(\mathrm{x} / \tan ^{-1} \mathrm{x}\right)=1$

    $\mathrm{x} \rightarrow 0 \quad \mathrm{x} \rightarrow 0$

2. $\lim \left(\sin ^{-1} x / x\right)=\lim \left(x / \sin ^{-1} x\right)=1$

    $\mathrm{x} \rightarrow 0 \quad \mathrm{x} \rightarrow 0$

 

L’ Hopitals Rule : কোনো অংক যদি $\lim (x \rightarrow a) \frac{f(x)}{g(x)}$ আকারে থাকে এবং $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ বসালে যদি $\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{g}(\mathrm{x})}$ এর মান $0 / 0$ আকারে আসে তাহলে এই Rule প্রয়োগ করা হয় । এক্ষেত্রে যতোবার $0 / 0$ আকারে আসবে ততবার অন্তরীকরণ করতে হবে ।

 

Type- 1 

$\lim (x \rightarrow 2) \frac{x 3-8}{x-2}$

$=\lim (x \rightarrow 2) \frac{(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)}{x-2}$

$=\lim (x \rightarrow 2)\left(x^{2}+2 x+4\right)=4+4+4=12$ [Answer]

এই অংকটি L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করেও খুব সহজে সমাধান করা যায় । কারণ, উপর নিচে $u = 2$ বসালে $0 / 0$ আকারে আসে ।

$\lim (x \rightarrow 2) \frac{x^{3}-8}{x-2}$

$=\lim (x \rightarrow 2) \frac{3 x^{2}}{1}$

$=3.2^{2}$

$=12$    [Answer]

 

Type- 2 

$\lim (x \rightarrow \alpha) \frac{f(x)}{g(x)}$ আকারে বসালে সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট রাশি উপর ও নিচ হতে common নিয়ে সরল করে limiting point পরে বসাতে হবে ।

উদাহ্‌রণ:

$\lim (x \rightarrow \alpha) \frac{x^{2}+5}{3 x^{2}+2 x+1}$

$=\lim (x \rightarrow \alpha) \frac{x^{2}\left(1+\frac{5}{x}\right)}{x^{2}\left(x+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}$

$=\lim (x \rightarrow \alpha) \frac{1+\frac{5}{x}}{x+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}$

$=(1+0) /(3+0+0)$

$=1 / 3$                [Answer]

 

Note : something/α = 0

 

Type- 3 

$\lim (1+a x)^{1 / a x}=\lim (1+1 / b x)^{b x}=e$

$\mathrm{x} \rightarrow 0 \quad \mathrm{x} \rightarrow \alpha$

সূত্রটির ব্যবহার 

i. $\begin{array}{ll} & \lim (1+5 x)^{1 / x} \\ & x \rightarrow 0 \\ & =\lim (1+5 x)^{1 / 5 x .5} \\ & x \rightarrow 0 \\ & =e^{5}\end{array}$                    

[Answer]

ii.   $\lim _{,}(1+1 / 3 x)^{9 x}$

      $\mathrm{X} \longrightarrow \alpha$

      $=\lim (1+1 / 3 x)^{3 x \cdot 3}$
      $x \rightarrow \alpha$
      $e^{3}$      [Answer]

 

Type- 4 

উদাহ্‌রণ - ১: 

$\lim (x \rightarrow 0) \frac{1-\cos 3 x}{3 x^{2}}$

অংকটিতে, $x = 0$ বসালে $0 / 0$ আসে । তাই L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করা যায় ।

$\lim (x \rightarrow 0) \frac{1-\cos 3 x}{3 x^{2}}$

$\lim (x \rightarrow 0) \frac{3 \sin 3 x}{6 x}$                     [differentiate করে]

এখনও এটি $0/0$ আকারে আছে । সুতরাং পুনরায় অন্তরীকরণ করে,

$\lim (x \rightarrow 0) \frac{9 \cos 3 x}{6}$

এখন, $ x = 0$ বসালে আমরা পাই $\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ । এটিই উত্তর ।

 

উদাহ্‌রণ - ২ :

$\lim (x \rightarrow \pi / 2) \frac{1-\sin x}{\cos x} \quad[0 / 0$ form $]$

$=\lim (x \rightarrow \pi / 2) \frac{-\cos x}{\sin x} \quad[$ not $0 / \mathrm{0}$ form $]$

$=\frac{-\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}}$

$=0 / 1=0$                [Answer]

 

উদাহ্‌রণ - ৩ :

$\lim (x \rightarrow 0) \frac{1-\cos x}{x^{3}} \quad[0 / 0$ form $]$

$=\lim (\mathrm{x} \rightarrow 0) \frac{\sin \mathrm{x}}{3 \mathrm{x}} \quad[0 / 0$ form $]$

$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{\cos x}{3} \quad[$ not $0 / 0$ form $]$

$=1 / 3$                         [Answer]

 

Type- 5 

$\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}}{f(x)}$ আকারে থাকলে, লবে $±$ এর স্থানে যে চিহ্ন থাকবে তার বিপরীত চিহ্নের রাশি দিয়ে লব হরকে গুণ করতে হবে ।

উদাহ্‌রণ - ১ :

$\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sqrt{1+5 x}-\sqrt{1-7 x}}{2 x}$

$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{(\sqrt{1+5 x}+\sqrt{1-7 x})(\sqrt{1+5 x}-\sqrt{1-7 x})}{2 x(\sqrt{1+5 x}+\sqrt{1-7 x})}$

$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{1+5 x-1=7 x}{2 x(\sqrt{1+5 x}+\sqrt{1-7 x})}$

$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{12}{2(\sqrt{1+5 x}+\sqrt{1-7 x})}$

$=6 / 4=3 / 2$              [Answer]

 

Type- 6 

$\lim (x \rightarrow a) \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}$ সূত্রের ব্যবহার :

  $\lim (x \rightarrow a) \frac{x^{3 / 2}-a^{3 / 2}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$

  $=\lim (x \rightarrow a) \frac{(\sqrt{x})^{3}-(\sqrt{a})^{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$

  $=3(\sqrt{a})^{3-1}$

  $=3 a$             [Answer]

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নোত্তর 

1.     $\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sin (2 x)^{2}}{x}$

        $=\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sin 4 x^{2}}{x}$ 

        $=0$                        [Answer]

 

2.  $\lim (x \rightarrow 0) \frac{\tan ^{-1} 2 x}{x}$

    $=\lim (x \rightarrow 0) \frac{\tan ^{-1} 2 x}{2 x} .2$ 

    $=1.2$

    $=2$                               [Answer]

 

3. $\lim (\mathrm{x} \rightarrow 0) \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}}{2 \mathrm{x}} \quad[0 / 0$ form $]$

    $=\lim (\mathrm{x} \rightarrow 0) \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}}{2}$

    $=2 / 2$
    $=1$                           [Answer]

 

4.  $\tan ^{-1} x / x=1$     [Answer]

5.  $\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x}$

     $=\lim (x \rightarrow 0) \frac{(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})(\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x})}{x(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}$

     $=\lim (x \rightarrow 0) \frac{3+x-3+x}{x(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}$

     $=\lim (x \rightarrow 0) \frac{2}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}$

     $=2 / 2 \sqrt{3}$

     $=1 / \sqrt{3}$  [Answer]

6. $\lim (x \rightarrow 0) \frac{x\left(\cos x+\cos ^{2} x\right)}{\sin x}$

এখানে যেহেতু $0 / 0$ form সুতরাং L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করে সহজেই উত্তর পাওয়া যায় । উত্তর হবে 2

 

7.  $\lim (x \rightarrow \pi / 2) \frac{1-\sin x}{\cos x} \quad[0 / 0$ form $]$

    $=\lim (x \rightarrow \pi / 2) \frac{0-\cos x}{-\sin x}$

    $=\lim (x \rightarrow \pi / 2)$

    $=\cot \pi / 2$

    $=0$                            [Answer]

 

8.  $\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sin 3 x}{3 x}$

    $=\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sin 3 x}{3 x} \cdot 3$

    $=1.3$

    $= 3$                               [Answer]